[확률과 통계] 정규 분포와 표본 정규 분포

정규분포

정규 분포는 가우시안 분포라고도 불리는 유명한 분포입니다.

 

어떤 확률 변수 $X$가 평균이 $\mu$이고, 분산이 ${\sigma }^2$인 정규 분포를 따른다면 다음과 같이 나타냅니다.

 

 

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)(-\mathrm{\infty }<\mu <\mathrm{\infty },{\sigma }^2\ge 0)$

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정규분포의 성질들

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 라고 할때

 

$X$의 p.d.f. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

 

$X$의 m.g.f. $\psi (t)=e^{\mu t+\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2}$

 

 

m.g.f를 통해 $E(X)=\mu$ 이고, $Var(X)={\sigma }^2$ 임을 알 수 있습니다.

 

 

p.d.f. 는 $\mu$를 중심으로 대칭인 형태이며,

표준편차가 작아질수록 뾰족해지고,

표준편차가 클 수록 평평해집니다.

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선형 변환에 대해

확률 변수 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 이고,

확률 변수 $Y=aX+b$ 라면, $Y\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$ 입니다.

 

m.g.f 를 활용하여 증명이 가능합니다.

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표본 정규 분포

포본 정규 분포는 Standard Normal Distribution 이라 불리며 약자로 S.N.D라고 표현합니다.

 

특징은 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포라는 점입니다.

 

 

S.N.D의 p.d.f.는 기호 $\varphi$를 사용하여 나타내며,

c.d.f.는 기호 $\mathrm{\Phi }$를 사용하여 나타냅니다.

 

정규화

정규 분포를 표준 정규 분포 형태로 만드는 작업을 정규화(Nomalization) 이라고 합니다.

 

 

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 인 확률 변수 X가 있을 때, 

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$ 라고 하면, $Z\sim N(0,1)$ 입니다.

 

 

선형 변환을 통해 정규화가 된다는 것을 증명할 수 있습니다.

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독립이며 정규 분포를 따르는 확률 변수들

확률 변수 $X_1,X_2,\cdots ,X_k$ 가

$X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)(1\le i\le k)$ 이며,

서로 독립이라고 하겠습니다.

 

 

그럼 ${\displaystyle \sum _{i=1}^k{X}_i\sim N({\displaystyle \sum _{i=1}^k{\mu }_i,{\displaystyle \sum _{i=1}^k{\sigma }_i^2,)}}}$ 입니다.

 

m.g.f. 를 통해 증명 가능합니다.

 

 

또한 상수인 $a_1\cdots a_k,b$에 대해

 

${\displaystyle \sum _{i=1}^k{a}_i{X}_i+b}$  $\sim N({\displaystyle \sum _{i=1}^k{a}_i{\mu }_i+b,}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^k{a}_i^2{\sigma }_i^2)}$

 

입니다.