[확률과 통계] 정규 분포와 표본 정규 분포

정규분포

정규 분포는 가우시안 분포라고도 불리는 유명한 분포입니다.

 

어떤 확률 변수 $X$가 평균이 $\mu$이고, 분산이 $\sigma^2$인 정규 분포를 따른다면 다음과 같이 나타냅니다.

 

 

$X \sim N(\mu, \sigma^2) \ \ (-\infty < \mu < \infty, \ \sigma^2 \ge 0)$

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정규분포의 성질들

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 라고 할때

 

$X$의 p.d.f. $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

 

$X$의 m.g.f. $\psi(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2} \sigma^2 t^2}$

 

 

m.g.f를 통해 $E(X) = \mu$ 이고, $Var(X) = \sigma^2$ 임을 알 수 있습니다.

 

 

p.d.f. 는 $\mu$를 중심으로 대칭인 형태이며,

표준편차가 작아질수록 뾰족해지고,

표준편차가 클 수록 평평해집니다.

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선형 변환에 대해

확률 변수 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 이고,

확률 변수 $Y = aX + b$ 라면, $Y \sim N(a\mu+b, a^2 \sigma^2)$ 입니다.

 

m.g.f 를 활용하여 증명이 가능합니다.

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표본 정규 분포

포본 정규 분포는 Standard Normal Distribution 이라 불리며 약자로 S.N.D라고 표현합니다.

 

특징은 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포라는 점입니다.

 

 

S.N.D의 p.d.f.는 기호 $\phi$를 사용하여 나타내며,

c.d.f.는 기호 $\Phi$를 사용하여 나타냅니다.

 

정규화

정규 분포를 표준 정규 분포 형태로 만드는 작업을 정규화(Nomalization) 이라고 합니다.

 

 

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 인 확률 변수 X가 있을 때, 

$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ 라고 하면, $Z \sim N(0, 1)$ 입니다.

 

 

선형 변환을 통해 정규화가 된다는 것을 증명할 수 있습니다.

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독립이며 정규 분포를 따르는 확률 변수들

확률 변수 $X_1, X_2 , \cdots , X_k$ 가

$X_i\sim N(\mu_i, \sigma_i^2) \ \ (1 \le i \le k)$ 이며,

서로 독립이라고 하겠습니다.

 

 

그럼 $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}X_i \sim N(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\mu_i, \displaystyle\sum_{i=1}^{k}\sigma_i^2,)$ 입니다.

 

m.g.f. 를 통해 증명 가능합니다.

 

 

또한 상수인 $a_1 \cdots a_k, b$에 대해

 

$\displaystyle\sum_{i=1}^{k}a_i X_i + b$  $\sim N(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}a_i \mu_i + b,$ $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}a_{i}^2 \sigma_{i}^2)$

 

입니다.